<수열의 극한>

1. 수렴과 발산

2. 극한값의 계산

3. 무한등비수열

4. 무한급수

5. 무한등비급수

6. 무한등비급수의 응용

§1.수열의 극한

1.수렴과 발산

◉다음 무한수열에서 n이 한없이 증가할 때 일반항은 어떤 값에 가까이 가는가?

(1)[eqn: 1, ~1over2 ,~ 1over3 , ~1over4 , ~....~ 1over n ~ ....]      (2)[eqn: 2, ~3over2 , ~4over3 ,~ ....~{n+1}over n ,~ ....]

(3)[eqn: 1over2 ,~- 1 over 4 , ~ 1 over 6 , ~ - 1 over 8 , ~....~(-1)^n 1 over 2n ~ ....]      (4)[eqn: 1,~ 2,~3,~....~n~....]

(5)[eqn: -1,~-4,~-9,~....-n^2 ,~....]

(6)[eqn: -2,~2,-2,~2,~....(-1)^n ․ 2]

수열의 극한[eqn: cases{ 수렴~:~n→∞~일때~a_n →α~~⇔~~lim_n→∞ a_n =α~ (α로 수렴)~~α는~극한값#발산~:~n→∞~일때~a_n →∞~~⇔~~lim_n→∞ a_n =∞~ (양의~ 무한대로~ 발산~)}]

[eqn: n→∞~일때~a_n →-∞~~⇔~~lim_n→∞ a_ n =-∞] (음의 무한대로 발산)

[eqn: n→∞~일때~a_n →진동~~⇔~~lim_n→∞ a_ n =진동] (수렴하지 않으므로 발산)

※ 극한에서 0은 무한소 라고 한다.

<예1.1-1>다음 수열의 수렴과 발산을 조사하여라.

①{[eqn: 1-( 1 over 3 )^n]}     ②{[eqn: (-1)^n 1 over n]}     ③ {[eqn: n^2 +2] }    ④ {[eqn: sin nπ over 2]}

2.극한값의 계산

(1)극한값의 성질

[eqn: lim_n→∞ a_n]=α, [eqn: lim_n→∞ b_n]=β일 때 (수렴할 때)

①[eqn: lim_n→∞ k a_n =k lim_n→∞ a_n] =α       ②[eqn: lim_n→∞ ( a_n ±b_n ) =][eqn: lim_n→∞ a_n ±lim_n→∞ b_n] =α±β

③[eqn: lim_n→∞ a_n․ b_n =lim_n→∞ a_n ․lim_n→∞ b_n] =αβ      ④[eqn: lim_n→∞ a_n over b_n ={ lim_n→∞ a_n }over{lim_n→∞ b_n }]=α/β

(증명)

{[eqn: a_n]} : 3.2  3.02  3.002  3.0002 .......  [eqn: lim_n→∞ a_n =3]

{[eqn: b_n]} : 2.1  2.01  2.001  2.0001 .......  [eqn: lim_n→∞ a_n =2]

{2[eqn: a_n]} : 6.4  6.04  6.004  6.0004 ...... [eqn: lim_n→∞ 2 a_n =6=2lim_n→∞ a_n]

{[eqn: a_n]}+{[eqn: b_n]} : 5.3  5.03  5.003  5.0003 ...... [eqn: lim_n→∞ ( a_n +b_n ) =5=][eqn: lim_n→∞ a_n +lim_n→∞ b_n]

{[eqn: a_n]}-{[eqn: b_n]} : 1.1  1.01  1.001  1.0001 ...... [eqn: lim_n→∞ ( a_n -b_n ) =1=][eqn: lim_n→∞ a_n -lim_n→∞ b_n]

{[eqn: a_n]}{[eqn: b_n]} : 6.72  6.0702  6.007002 ...... [eqn: lim_n→∞ a_n․ b_n =6=lim_n→∞ a_n ․lim_n→∞ b_n]

[eqn: { (a_n ) } over { (b_n )}] : 1.524  1.503  1.5002 ...... [eqn: lim_n→∞ a_n over b_n =1.5 = 3over2 ={ lim_n→∞ a_n }over{lim_n→∞ b_n }]

※ [eqn: a_n <b_n]  이면 [eqn: lim_n→∞ a_n ≤lim_n→∞ b_n]

[eqn: a_n ≤ c_n ≤ b_n ~ 이고] [eqn: lim_n→∞ a_n =lim_n→∞ b_n =α~~이면~~lim_n→∞ c_n =α]

(증명)

[eqn: a_n =1+ 1over n ,~b_n =2+ 1over n] 이라고 하면           [eqn: a_n =1- 1over n ,~b_n =1+ 1over n] 이라고 하면

[eqn: 1+ 1 over n < 2+ 1 over n 이고lim_n->INF (1+ 1over n )< lim_n->INF (2+ 1over n )]  [eqn: 1- 1 over n <1 + 1 over n ~이고~lim_n->INF (1- 1over n )= lim_n->INF (1+ 1over n )]

이므로 [eqn: a_n <b_n ~이면~ lim_n→∞ a_n <lim_n→∞ b_n]---①       이므로 [eqn: a_n <b_n ~이면~ lim_n→∞ a_n =lim_n→∞ b_n]---②

①, ②에 의하여   [eqn: a_n <b_n ~~~이면~~~ lim_n→∞ a_n ≤lim_n→∞ b_n]

(2)극한값의 계산

① ∞ + ∞ = ∞       ② ∞ - ∞ = ? ---→ ∞×∞, ∞/∞꼴로 변형

③ ∞ × ∞ = ∞       ④ ∞ ÷ ∞ = ? ---→ 분모의 최고차로 나눈다.

<예1.2-1>다음 극한(값)을 구하여라.

①{[eqn: n^2 +n]}   ②{[eqn: n(n+2)]}   ③{[eqn: {n+3}over{2n-1}]}   ④{[eqn: {n-1}over{n^2 +n+1 }]}   ⑤{[eqn: {n^3 +2n}over{n+1}]}

⑥{[eqn: n^2 -n]}    ⑦{[eqn: root{n^2 +n} ~ -n]}    ⑧{[eqn: 1over n sinnθ]}    ⑨{[eqn: {1+2+3+....+n}over n^2]}

<예1.2-2>등식 [eqn: lim_n->INF {an^2 +bn+1}over{3n+2} =2]가 성립할 때 a+b는? (단 a, b는 상수)

<예1.2-3>[eqn: lim_n→∞ (3n^2 +4n+1) a_n =10] 일 때[eqn: lim_n→∞ 2n^2 a_n]의 값은?

<예1.2-4>[eqn: lim_n→∞ (n+1)a_n =1] 일 때 [eqn: lim_n→∞ a_n]의 값은?

3.무한등비수열

[eqn: r^1 ~~r^2 ~~r^3 ~~………~~r^n ~~……… ~~:공비가~r인~무한등비수열]

(1)[eqn: r>1] 이면 r=1+h (h>0)라고 가정. [eqn: r^n =(1+h)^n~ >1+nh]

[eqn: lim_n→∞ (1+nh)=∞]이므로[eqn: lim_n→∞ r^n =INF]

(2)[eqn: r=1] 이면 [eqn: lim_n→∞ r^n =lim_n→∞ 1^n =1]

(3) 0<r<1 이면 [eqn: lim_n→∞ r^n =0]

(4) [eqn: r=0] 이면 [eqn: lim_n→∞ r^n =0]

(5)[eqn: -1<r<0] 이면[eqn: lim_n→∞ r^n =0]

(6)[eqn: r=-1] 이면[eqn: lim_n→∞ r^n =진동](발산)

(7)[eqn: r < -1] 이면 [eqn: lim_n→∞ r^n =진동](발산)

※무한등비수열의 수렴과 발산[eqn: cases{①~r>1~이면~ lim_n→∞ r^n =∞~ ( 발산)#②~ r=1~이면~lim_n→∞ r^n = 1~~ (1로~수렴) #③-1<r<1 ~이면~lim_n→∞ r^n =0 ~(0으로~수렴)#④~ r≤-1~이면~lim_n→∞ r^n =진동 ~(발산) }] 수렴조건 : -1<r≤1

<예1.3-1> 다음 수열의 수렴과 발산을 조사하여라.

[eqn: ①~[ {(root3 ~ )^n +2^n }over2^n ] ~~~~ ②~[ {2^n +7^n }over{3^n -7^n }] ~~ ~~③~[ {3^n -1}over{2^n +3}] ~~~~ ④~[ {2^n +2^-n }over{2^n -2^-n }]]

4.무한급수(무한수열의 합)

(1)무한급수의 수렴과 발산

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +………+a_n +………=sum from n=1 to ∞ a_n ~~:~무한급수] (∞항 까지의 합 ⇔ [eqn: S_ ∞])

(예)[eqn: 1+ 3over2 + 5over4 + 7over8 + CDOTS CDOTS = SUM from { { n}=1} to inf {2n-1}over2^n-1],   [eqn: 1 CDOT 2+2 CDOT 3+3 CDOT 4+ CDOTS CDOTS = SUM from { { n}=1} to inf n(n+1)]

[eqn: a_1 ,a_2 ,a_3 , CDOTS CDOTS CDOTS a_n CDOTS CDOTS CDOTS] 에서 [eqn: a_INF = lim from { n -> inf } a_n] 이므로

부분합으로 이루어진 수열 [eqn: S_1 ~~S_2 ~~S_3 ~………~S_n ~………] 에서 [eqn: S_∞ =lim_n->∞ S _n]

그러므로 [eqn: S_n]의 극한값이 수렴하면 무한급수는 수렴. (수렴하는 값 = 무한급수의 합)

[eqn: S_n]의 극한값이 수렴하지 않으면 무한급수는 발산.

(무한급수의 합은 존재하지 않는다)

[eqn: lim_n→∞ S_n =S(일정)~ 이면~ sum from n=1 to ∞ a_n 은 ~S에~수렴] (무한급수의합=S)

[eqn: lim_n→∞ S_n ≠S(일정)~ 이면~ sum from n=1 to ∞ a_n 은 ~발산] (무한급수의 합은 존재하지 않는다)

무한수열의 극한 :[eqn: a_1 ~a_2 ~a_3 ……~a_n ~……]에서 [eqn: lim_n→∞ a_n = a_∞]의 수렴, 발산의 판정

무한급수의 극한 :[eqn: S_1 ~S_2 ~S_3 ……`S_n ……]에서 [eqn: lim_n→∞ S_n =S_∞]의 수렴, 발산의 판정

<예1.4-1>다음 무한급수의 수렴과 발산을 조사하고 수렴하면 합을 구하여라.

①[eqn: 1- 1over3 + 1over3^2 - 1over3^3 +…………]

② [eqn: 1over1․3 + 1 over2․4 + 1 over 3․5 +………]

③[eqn: 1+2+3+………]

④[eqn: 1 over{ 1+root2} + 1 over {root2 +root3} + 1 over {root3 +root4 } + ………]

⑤[eqn: SUM from { { n}=1} to inf ( SQRT { n+2} - SQRT { n} )]

⑥[eqn: 1+(-1)+1+(-1)+………]

(2)무한급수의 성질 ([eqn: SUM from { {n }=1} to inf a_n], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n]이 수렴할 때 )

①[eqn: sum from n=1 to ∞ ka_n = k sum from n=1 to ∞ a_n]              ②[eqn: sum from n=1 to ∞ ( a_n ± b_n ) = sum from n=1 to ∞ a_n ± sum from n=1 to ∞ b_n]

③[eqn: sum from n=1 to ∞ a_n]이 수렴하면 [eqn: lim_n→∞ a_n =0] ⇔[eqn: lim_n→∞ a_n ≠0] 이면 [eqn: sum from n=1 to ∞ a_n]은  발산

(증명) 무한급수가 수렴하므로 [eqn: sum from n=1 to ∞ a_n] =[eqn: lim_n→∞ S_n =S](일정)

[eqn: a_n =S_n -S_n-1 ~ , ~~lim_n→∞ a_n ~ = lim_n→∞ (S_n -S_n-1 )=lim_n→∞ S_n -lim_n→∞ S_n-1 =S-S=0]

※ 역은 항상 성립하는 것은 아니다.

[eqn: a_n = 1over n ~이면~lim_n->INF a_n =0] 이지만

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf 1 over n =1+ 1over2 + 1over3 + 1 over4 + 1 over5 + 1 over 6 + 1 over7 + 1 over8 + CDOTS CDOTS]

>[eqn: 1+ 1 over2 + ( 1over4 + 1 over4 )+ ( 1 over 8 + 1 over8 + 1over8 + 1over8 )+ CDOTS CDOTS][eqn: =∞] (발산)

<예1.4-2>[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n =7 ,~ SUM from { { n}=1} to inf b_n =3일~때~ SUM from { { ㅜ}=1} to inf (3a_n -2b_n )의~값은?]

<예1.4-3>무한급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf {2^n +3^n }over5^n]의 합을 구하여라.

<예1.4-4>무한급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf {n+2}over n]의 수렴, 발산을 조사하여라.

5.무한등비급수(등비수열인 무한급수)

[eqn: a+ar+ar^2 +ar^3 +……+ar^n-1 +……=][eqn: sum from n=1 to ∞ ar^n-1] : 무한등비급수

i)[eqn: a=0] 이면  [eqn: S_n =0] 이므로 [eqn: sum from n=1 to ∞ ar^n-1]은 0으로 수렴

ii)[eqn: a≠0] 일 때    [eqn: r~>1~이면~ SUM from { { n}=1}to ∞ ar^{n-1} =lim_n→∞ {a(r^n -1)} over{r-1}} =∞& (발산)]

[eqn: r=1~이면~S_n =na~ 이므로~ SUM from { { n}=1} to inf ar^{n-1} = lim_n→∞ na=∞& (발산)]

-1<[eqn: r]<1 이면[eqn: SUM from { { n}=1} to inf ar^{n-1} =lim_n→∞ {a(1-r^n ) }over{1-r} = a over{1-r}] (수렴)

[eqn: r≤-1~이면~lim_n→∞ ~ SUM from { { n}=1} to inf ar^{n-1} = lim_n→∞ {a(1-r^n )}over{1-r} =진동~(발산)]

※ 무한등비급수의 수렴조건 : -1<[eqn: r]< 1  ---→ 합[eqn: = a over r-1]

<예1.5-1>다음 무한급수의 수렴과 발산을 조사하고 합을 구하여라.

①[eqn: sum from n=1 to ∞{ 2^n +1} over 4^n]   ②[eqn: sum from n=1 to ∞ 2^n over 3^n-1]  ③[eqn: sum from n=1 to ∞ (-1)^n 1over2^n]

④[eqn: sum from n=1 to ∞ (-1)^n ․ 2^n]       ⑤[eqn: sum from n=1 to ∞ ( 1over2 )^n sin { nπ}over2]

<예1.5-2>다음을 만족하는 [eqn: x]를 구하여라.

①[eqn: lim_n→∞ sum from k=1 to n (logx)^k =2]   ②[eqn: 1+sin^2 x +sin^4 x +……=2 ~ (단 ~0<x<90°)]

6.무한등비급수의 응용

※무한등비급수의 응용 문제 =⇒ 초항과 공비를 구하여 [eqn: a over 1-r]를 이용

<예1.6-1>오른쪽 그림에서[eqn: ∠XOY=30°]이다.                                Y

반직선 [eqn: vecOY] 위에 [eqn: overline OP =2]인 점 P를 잡고                         P

점 P에서 [eqn: vecOX]에 수선[eqn: P P_1] 를 내린 다음                    P

점[eqn: P_1]에서 [eqn: vecOY]에 수선[eqn: P_1 P_2]를 내린다.               P

이와 같은 것을 한없이 반복할 때

이 수선의 길이의 합은?                     O      P  P    P     P  X

Y

<예1.6-2>좌표평면 위의 한 점 O에서 차례로 30°의               A

각도를 이루는 6개의 직선이 있다.                    A           A

점 A에서 출발하여 이웃 직선에 차례로 수선을                          A

그어 나가면 수선의 길이의 합은 어떤 값에 한없이   A

가까워지는가? (단 [eqn: overline OA =1])                                O                X

<예1.6-3>좌표평면 위에서 점[eqn: A_n]이 오른쪽 그림과 같이 움직인다.  Y

[eqn: overline OA_1 =1 ~,~overline{ A_1 A_2} = 2over3 ~,~overline{ A_2 A_3} =( 2over3 )^2 ~,]

[eqn: ~overline{A_3 A_4} = ( 2over3 )^3] ………

이와 같은 운동을 한없이 계속할 때 점[eqn: A_n]은                                X

어떤 점에 한없이 가까워지는가?

<예1.6-4>반지름이 1인 원에 내접하는 정삼각형을 [eqn: A_1]라고 하고

[eqn: A_1]의 내접원에 내접하는 정삼각형을 [eqn: A_2] 이라고 하자.

이와 같이 정삼각형 [eqn: A_n]의 내접원에 내접하는 정삼각형을

[eqn: A_n+1]이라 하고 [eqn: A_n]의 넓이를 [eqn: a_n]이라 할 때  [eqn: sum from n=1 to ∞ a_n]을 구하여라.